Отец Йосафат Шишков е роден на 09.02.1884 г. в Пловдив в католическо семейство. На деветгодишна възраст влиза в началното училище в Кара-Агач край Одрин. През 1900 г. той става послушник – успенец в град Фанараки – Турция и приема името Йосафат, под което е познат по-късно. Продължава следването си по философия и теология в гр. Лувен (Белгия). Там през 1909 г. е ръкоположен за свещеник от латински обред.
През Първата световна война е учител в колежа “Св. Августин” в Пловдив. В 1929 г. е назначен за директор на малката семинария “Св.Св. Кирил и Методий”- Ямбол. Отворен за техническите новости, той е първият човек от Ямбол, който доставя и ползва пишеща машина на кирилаца, въвежда киното в обучението, организира вечеринки за младежите, които за първи път, благодарение на него слушат грамофон. Негов чест гост в семинарията е Монсеньор Ронкали, тогава папски представител в България. През 1937 г. е назначен като настоятел във Варна. През 1948, когато свещениците чужденци са принудени да напуснат България, отец Йосафат е назначен енорийски свещеник във Варна.
Арестуван от милицията през декември 1951 г. Успенците остават без вести за съдбата на своя събрат в продължение на почти година до момента, когато вестниците публикуват обвинителният акт срещу 40 души. Сред обвиняемите отец Шишков е обвинен като един от “най-старите шпиони”.Тримата отци са осъдени на смърт на 03.10.1952 г. и разстреляни в нощта на 11 срещ 12 ноември 1952 г. в София заедно с Блажения Монсеньор Евгений Босилков. Не е известно мястото, където са погребани.
По време на визитата си в Пловдив през май, 2002, Папа Йоан Павел II обявява трима български католически свещеници-мъченици за блажени - Камен Вичев (р. 1893), Павел Джиджов (р. 1919) и Йосафат Шишков (р. 1884), екзекутирани от комунистите през 1952 като организатори на шпионаж срещу народната власт. Папата официално обяви блаженството им при посещението си в Пловдив - май 2002 г.